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Calculs relativistes - Partie 2

Forces et Accélérations [modifier]

Le quadrivecteur accélération [modifier]

De même que nous avons défini le quadrivecteur vitesse en différentiant le quadrivecteur position par rapport au temps propre, nous pouvons définir le quadri-accélération en différentiant le quadrivecteur vitesse par rapport au temps propre :

$a^\alpha=\frac{du^\alpha}{d\tau}=({\gamma}\frac{d}{dt}({\gamma}c),{\gamma}\frac{d}{dt}({\gamma}\vec{V}))=({\gamma}c\frac{d\gamma}{dt},{\gamma}\frac{d\gamma}{dt}\vec{V}+\gamma^2\frac{d\vec{V}}{dt})$

avec $\gamma = \gamma(V) = {1 \over \sqrt{1 - V^2/c^2}}$

La transformation des accélérations [modifier]

La transformation de Lorentz appliquée sur le quadrivecteur accélération dans un référentiel $\mathbb R$ permet d'en déduire le quadrivecteur accélération dans le référentiel $\mathbb R'$ , et de calculer explicitement les composantes de l'accélération. Notons $a_i = {dV_i \over dt}$ la ième composante dans le référentiel $\mathbb R$ et notons-la $a'_i = {dV'_i \over dt'}$ dans le repère $\mathbb R'$ . On obtient, en notant v la vitesse de $\mathbb R'$ par rapport à $\mathbb R$ :

$a'_x = \left({1 - {v^2 \over c^2}}\right)^{3/2}{a_x \over (1 - vV_x/c^2)^3}$

$a'_y = \left({1 - {v^2 \over c^2}}\right) {a_y(1 - vV_x/c^2)+a_xvV_y/c^2 \over (1 - vV_x/c^2)^3}$

$a'_z = \left({1 - {v^2 \over c^2}}\right) {a_z(1 - vV_x/c^2)+a_xvV_z/c^2 \over (1 - vV_x/c^2)^3}$

Le mouvement uniformément accéléré [modifier]

Considérons un référentiel inertiel $\mathbb R$ . Supposons que M, particule de masse m₀, se déplace sous l'effet d'une force constante F parallèle à $O x$ et que, pour t = 0, M soit en O avec une vitesse nulle. Sous l'effet de la force, la particule va être soumise à une accélération. Cependant, celle-ci ne saurait être constante, égale à $g = {F \over m_0}$ , sous peine de voir la particule atteindre puis dépasser la vitesse de la lumière. Quel est alors l'équivalent relativiste du mouvement uniformément accéléré de la mécanique galiléenne ?

À un instant t donné, le point M est animé d'une vitesse V par rapport à $\mathbb R$ . Considérons alors un référentiel $\mathbb R'$ se déplaçant à la vitesse constante v qui coïncide à l'instant t avec la vitesse V de M, et tel que son origine O' coïncide également avec M à l'instant t. Dans ce référentiel $\mathbb R'$ , au cours du temps, le point M se voit se rapprocher de O', atteindre ce point en un certain instant t', sa vitesse V' s'annule en cet instant, puis il repart et s'éloigne de O'. Il est alors soumis à une accélération $a' x$ dans le repère $\mathbb R'$ . Puisque la vitesse V' s'annule au moment où M atteint O', nous ferons l'hypothèse que les lois de la mécanique galiléenne s'applique à cet instant, et que l'accélération $a' x$ est égale à g. Selon les règles de transformation des accélérations vues précédemment, et compte tenu du fait que $v = V = V x$ , l'accélération de la particule M dans le référentiel $\mathbb R$ à l'instant t est $a_x = \left({1 - {V^2 \over c^2}}\right)^{3/2} g$ .

Si, à chaque instant t, on redéfinit le référentiel $\mathbb R'$ coïncidant avec M, alors on définit ainsi une accélération propre constante $a' x = g$ et une accélération dans le référentiel $\mathbb R$ égale à :

$a_x = \left({1 - {V^2 \over c^2}}\right)^{3/2} g = {dV \over dt}$

Au fur et à mesure que V augmente et se rapproche de c, l'accélération de la particule dans le référentiel $\mathbb R$ diminue, bien que son accélération dans son référentiel propre reste constante. L'intégration de l'équation donne l'expression de V en fonction du temps, à savoir :

$V = \frac{gt}{\sqrt{1+\frac{g^2t^2}{c^2}}} = {dx \over dt}$

On constate que V tend vers c lorsque t tend vers l'infini. Par ailleurs, pour t proche de 0, on retrouve l'expression V = gt de la mécanique galiléenne. Une deuxième intégration fournit l'expression de l'abscisse x du point mobile M :

$x = {c^2 \over g}(\sqrt{1 + {g^2t^2 \over c^2}} - 1)$

Pour t proche de 0, on retrouve l'expression $x = {1 \over 2}gt^2$ de la mécanique galiléenne.

Accélération et énergie [modifier]

Si, dans l'étude du paragraphe précédent, on souhaite que la loi $F = m_0g = {d(mV) \over dt}$ reste valide, il faut, puisque dV/dt n'est pas constant, que m ne le soit pas non plus. F étant constante, on a nécessairement mV = Ft avec, comme on l'a vu :

$V = \frac{gt}{\sqrt{1+\frac{g^2t^2}{c^2}}}$

ce qui donne :

$t = \frac{1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}} {V \over g}$

On obtient alors :

$m = {Ft \over V} = \frac{F}{g\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}} = \frac{m_0}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}}$

Ainsi, lorsque V augmente, on est amené à attribuer une masse m en mouvement de plus en plus importante, afin que la loi fondamentale de la dynamique reste valide.

E = mc² [modifier]

Toujours dans le cadre de l'étude précédente, la particule M voit son énergie varier avec la puissance suivante :

$P = F . V = m_0gV = {dE \over dt} = {dE \over dm}{dm \over dV}{dV \over dt}$

or :

${dV \over dt} = (1 - {V^2 \over c^2})^{3/2}g$ et ${dm \over dV} = {V \over c^2}\frac{m_0}{(1 - V^2/c^2)^{3/2}}$

d'où, après simplification :

${dE \over dm} = c^2$

ce qui conduit à la formule la plus célèbre de la physique :

${E = mc^2 \over ~}$

On remarque que la variation d'énergie depuis l'instant initial est :

$E - E_0 = (m - m_0)c^2 = m_0c^2({1 \over \sqrt{1 - V^2/c^2}} - 1)$

qui donne ${1 \over 2}m_0V^2$ pour les petites vitesses. On retrouve l'expression classique de l'énergie cinétique.

Le quadrivecteur force et la transformation des forces [modifier]

Soit une particule de masse m₀, se déplaçant à la vitesse $\vec V$ par rapport à un référentiel inertiel $\mathbb R$ . On peut, comme en mécanique classique, définir la force à laquelle est soumise cette particule si sa quantité de mouvement varie, par :

$\vec F = {d\vec p \over dt}$

avec $\vec p = m\vec V = \gamma(V)m_0 \vec V$ , et sa variation d'énergie par :

$\vec F.\vec V = {dE \over dt}$

Mais pour passer d'un référentiel à l'autre, il vaut mieux utiliser le quadrivecteur force défini comme la dérivée du quadrivecteur impulsion par rapport au temps propre :

$F^\alpha = {dp^\alpha \over d\tau} = \gamma(V){dp^\alpha \over dt} = \gamma(V) {d \over dt}({E \over c},\vec p) = \gamma(V) ({\vec F.\vec V \over c},\vec F) = \mathbf{F}$

L'application d'une transformation de Lorentz à ce quadrivecteur permet de savoir comment une force se transforme d'un référentiel à l'autre.

Si $(F x, F y, F z)$ sont les composantes de $\vec F$ dans le référentiel $\mathbb R$ et si $(F' x, F' y, F' z)$ sont ses composantes dans le référentiel $\mathbb R'$ en translation de vitesse v par rapport à $\mathbb R$ , alors on trouve que :

$F'_x = {1 \over 1 - {\beta V_x \over c}}(F_x - \beta {\vec F.\vec V \over c})$

$F'_y = {1 \over \gamma(1 - {\beta V_x \over c})} F_y$

$F'_z = {1 \over \gamma(1 - {\beta V_x \over c})} F_z$

avec $\gamma = {1 \over \sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}}$ et $\beta = {v \over c}$ .

En particulier, si la vitesse V du point mobile coïncide à un instant donné avec la vitesse v du référentiel $\mathbb R$ , alors $F' x = F x$ , par contre les deux autres composantes sont différentes.

Exemple 1 : chute libre [modifier]

Considérons une particule de masse m₀ située en t = 0 en O et se déplaçant à la vitesse v selon l'axe $O x$ . On lui applique une force constante F = m₀g selon l'axe $O y$ . En mécanique galiléenne, sa trajectoire est une parabole. Qu'en est-il en mécanique relativiste ?

En écrivant que $\vec F = {d\vec p \over dt}$ et en projetant cette relation sur deux axes, on obtient, en notant V_x et V_y les composantes de sa vitesse V à l'instant t :

$\left\{\begin{matrix} {d \over dt} (\gamma(V)V_x) = 0\\{d \over dt} (\gamma(V)V_y) = g\end{matrix}\right.$

d'où :

$\left\{\begin{matrix} \gamma(V)V_x = v\\\gamma(V)V_y = gt\end{matrix}\right.$

La résolution de ce système conduit à :

$\left\{\begin{matrix} V_x = {v \over \sqrt{1 + {v^2+g^2t^2 \over c^2}}} = {dx \over dt}\\V_y = {gt \over \sqrt{1 + {v^2+g^2t^2 \over c^2}}} = {dy \over dt}\end{matrix}\right.$

et l'intégration de ces deux relations donnent les coordonnées x et y de la particule à l'instant t :

$\left\{\begin{matrix} x = {vc \over g} \sinh^{-1}({gt \over \sqrt{c^2 + v^2}})\\y = {c \over g} \sqrt{c^2+v^2}(\sqrt{1 + {g^2t^2 \over c^2 + v^2}}-1)\end{matrix}\right.$

où sinh^-1 est la réciproque du sinus hyperbolique. Si on exprime y en fonction de x, on obtient :

$y = {c \over g} \sqrt{c^2+v^2}(\cosh({gx \over vc})-1)$

qui est l'équation d'une chaînette et non plus d'une parabole.

On peut retrouver les solutions de la mécanique galiléenne en augmentant indéfiniment la valeur de c, ce qui donne :

$\left\{\begin{matrix} x = vt\\y = {1 \over 2}gt^2\\y = {gx^2 \over 2v^2}\end{matrix}\right.$

Exemple 2 : champ électrique [modifier]

On considère dans le référentiel $\mathbb R$ un champ électrique $\vec E$ , et une particule de charge q, se déplaçant dans ce champ. Celle-ci est soumise à une force $\vec F = q\vec E$ . Qu'en est-il dans le référentiel $\mathbb R'$ en déplacement à la vitesse v parallèle à $O x$ par rapport à $\mathbb R$ ?

À partir des relations :

$\left\{\begin{matrix}F_x=qE_x\\F_y=qE_y\\F_z=qE_z\end{matrix}\right. {\rm,~}\left\{\begin{matrix}F'_x = {1 \over 1 - {\beta V_x \over c}}(F_x - \beta {\vec F.\vec V \over c}) \\ F'_y = {1 \over \gamma(1 - {\beta V_x \over c})} F_y \\F'_z = {1 \over \gamma(1 - {\beta V_x \over c})} F_z\end{matrix}\right. {\rm~et~} \left\{\begin{matrix}V_x = {V'_x + v \over 1 + \beta V'_x/c} \\V_y = {V'_y \over \gamma(1 + \beta V'_x/c)}\\V_z = {V'_z \over \gamma(1 + \beta V'_x/c)}\end{matrix}\right.$

avec $\beta = {v \over c}$ et $\gamma = {1 \over \sqrt{1 - v^2/c^2}}$ , on en déduit que :

$\left\{\begin{matrix}F'_x=qE_x - \gamma\beta q{E_yV'_y+E_zV'_z \over c} \\F'_y=\gamma qE_y + \gamma\beta q{E_yV'_x \over c} \\F'_z=\gamma qE_z + \gamma\beta q{E_zV'_x \over c} \end{matrix}\right.$

La force $\vec F'$ est de la forme :

$\vec F' = q\vec E' + q\vec V' \times \vec B'$

avec $\vec E'$ champ électrique de composantes $\begin{pmatrix}E_x \\ \gamma E_y \\ \gamma E_z\end{pmatrix}$ et $\vec B'$ champ magnétique de composantes ${\gamma \beta \over c}\begin{pmatrix}0 \\ E_z \\ -E_y\end{pmatrix}$

Ainsi, le fait de changer de référentiel a légèrement modifié les composantes du champ électrique orthogonales au déplacement, et a fait apparaître un champ magnétique. Ce champ n'est que l'effet relativiste du changement de référentiel.

On notera que $\vec B' = - {\gamma \over c^2} \vec v \times \vec E$

Exemple 3 : champ magnétique [modifier]

On considère maintenant la même particule, mais dans un champ magnétique $\vec B$ . La force à laquelle la particule est soumise est cette fois :

$\vec F = q\vec V \times \vec B$

Les composantes de cette force sont :

$\left\{\begin{matrix}F_x=q(V_yB_z - V_zB_y)\\F_y=q(V_zB_x-V_xB_z)\\F_z=q(V_xB_y-V_yB_x)\end{matrix}\right.$

En opérant comme dans le paragraphe précédent, on trouve les composantes de la force dans le référentiel $\mathbb R'$ :

$\left\{\begin{matrix}F'_x=q\gamma(V'_yB_z - V'_zB_y)\\F'_y=q(V'_zB_x-\gamma V'_xB_z - \gamma vB_z)\\F'_z=q(\gamma V'_xB_y-V'_yB_x + \gamma vB_y)\end{matrix}\right.$

La force $\vec F'$ est de la forme :

$\vec F' = q\vec E' + q\vec V' \times \vec B'$

avec ici $\vec E'$ champ électrique de composantes $\gamma v\begin{pmatrix}0 \\ -B_z \\ B_y\end{pmatrix}$ et $\vec B'$ champ magnétique de composantes $\begin{pmatrix}B_x \\ \gamma B_y \\ \gamma B_z\end{pmatrix}$ .

Ainsi, le fait de changer de référentiel a légèrement modifié les composantes du champ magnétique orthogonales au déplacement, et a fait apparaître un champ électrique. Ce champ est là aussi un effet relativiste du changement de référentiel.

On notera que $\vec E' = \gamma \vec v \times \vec B$

Si on combine les exemples 2 et 3, on obtient les transformations d'un champ électro-magnétique $(\vec E,\vec B)$ :

$\left\{\begin{matrix} E'_x=E_x\\ E'_y=\gamma(E_y-vB_z)\\ E'_z=\gamma(E_z+vB_y)\\ B'_x=B_x\\ B'_y=\gamma(B_y+\frac{v}{c^2}E_z)\\ B'_z=\gamma(B_z-\frac{v}{c^2}E_y) \end{matrix}\right.$

ou encore, en désignant par $\vec E_{//}$ et $\vec B_{//}$ les composantes des champs parallèles au sens du déplacement du référentiel $\mathbb R'$ , et par $E_{\bot}$ et $\vec B_{\bot}$ les composantes orthogonales :

$\left\{\begin{matrix} \vec E'_{//} = \vec E_{//}\\ \vec B'_{//} = \vec B_{//}\\ E'_{\bot} = \gamma(E_{\bot} + \vec v \times \vec B)\\ B'_{\bot} = \gamma(B_{\bot} - {\vec v \over c^2} \times E) \end{matrix}\right.$

Tout ceci fait intervenir deux champs $\vec{E},\vec{B}$ classiques qui lors d'un changement de référentiel se 'transforment' l'un dans l'autre sans pour cela se mettre clairement sous la forme de quadrivecteur comme l'énergie impulsion etc. Par contre les équations de Maxwell prennent une forme relativiste et $\left( \frac{V}{c},\vec{A}\right)$ va se transformer comme doit le faire un quadrivecteur ce qui fait dire à Feynman que si dans les champs électromagnétique il fallait mettre une hiérarchie c'est de considérer d'abord les grandeurs quadrivecteurs. Il faut donc essayer de formuler les équations de Maxwell avec des opérateurs et des champs vectoriels ou tensoriel à 4 dimensions.

Optique relativiste [modifier]

On utilise en optique relativiste les quadrivecteurs de la forme $({\omega \over c},\vec{k})$ , où ω est la pulsation de l'onde, et $\vec{k}$ le vecteur d'onde indiquant la direction de propagation de l'onde et de module ω/c. Ce quadrivecteur est l'équivalent pour une onde électromagnétique du quadrivecteur $({E \over c}, \vec{p})$ énergie-impulsion pour une particule, multiplié par la constante de Planck ${h \over 2\pi} = \hbar$ . En effet, la dualité onde-particule attribue à une onde une énergie $E = h\nu = {h \over 2\pi} \omega = \hbar \omega$ , et une quantité de mouvement dont le module est $p = {E \over c} = \hbar {\omega \over c} = \hbar k$ .

La transformation d'un référentiel à l'autre de ce quadrivecteur explique les deux effets suivants :

Le quadrivecteur énergie impulsion [modifier]

Pour exprimer le quadrivecteur énergie impulsion d'une particule de masse m₀ se déplaçant à la vitesse $\vec V$ , il suffit de considérer une masse m₀ et de former comme en mécanique classique l'impulsion qui est le produit de la masse par la vitesse.

En mécanique relativiste, nous formons le produit de la masse par la quadri-vitesse, obtenant ainsi le quadrivecteur énergie-impulsion :

$p^\alpha=m_0u^\alpha=(\gamma(V) m_0c,\gamma(V)m_0\vec{V})= \left (\frac {m_0c}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}, \frac {m_0\vec V}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\right)=\mathbf{P}= \left (\frac {E}{c}, \vec p \right)$
Si on calcule la pseudo norme, on obtient :

$\mathbf{P^2}=(\frac {E}{c})^2 -(\vec p )^2= m_0^2c^2$
$\mathbf{P}=\begin{pmatrix} \\ \frac {E}{c}\\ \ p_x\\ \ p_y\\ \ p_z\\\end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & \gamma\beta& 0 & 0\\ \gamma\beta & \gamma & 0& 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0& 1\end{bmatrix}\begin{pmatrix} \\ \frac {E'}{c}\\ \ p'_x\\ \ p'_y\\ \ p'_z\\\end{pmatrix}= \mathbf{[\mathcal{L}]}*\mathbf{P'}$
La pseudonorme étant un invariant, on va pouvoir l'égaler à elle-même en la calculant dans différents référentiels avant et après un choc évènement par exemple.

Dans la définition du quadrivecteur, on a posé : $\gamma(V) m_0c = {E \over c}$ où E est l'énergie associée à la particule en mouvement. $E = γ(V) m 0 c 2$

$\gamma(V) m_0 = {m_0 \over \sqrt{1 - V^2/c^2}}$ , quantité qui tend vers l'infini quand V tend vers c a souvent été utilisée au XXième siècle en terme de masse variable.

On préfère aujourd'hui réserver le mot masse pour désigner l'énergie propre d'une particule ; c’est-à-dire son énergie au repos.

Les chocs aux hautes énergies [modifier]

La principale confirmation de la relativité est aujourd'hui facilement illustrée par ce qu'on appelle la physique des particules ou encore des hautes énergies. Les accélérateurs de particules frappent par la dimension des installations ; ce sont des tubes (dans lequel on fait le vide) de plusieurs kilomètres en forme d'anneau creux ou tore dans lequel sont injectés des 'paquets' de protons qui circulent à grandes vitesses après avoir été accélérés par des champs électriques et déviés par des champs magnétiques qui leur imposent de rester à tourner dans le tube. Ainsi il est possible de faire des chocs de protons contre des protons à hautes énergies.

Référentiels particuliers [modifier]

On considère en général deux référentiels : le référentiel où la cible 2 est au repos dit du laboratoire SL

$\mathbb{R}_{SL}:\qquad \vec p_2 =\vec 0 :$

et le référentiel où le tout est immobile dit à tort du centre de masse SCM

$\mathbb{R^*} : \qquad \sum_{i=1}^n \vec p_i^* =\vec 0$

Exemple de choc [modifier]

si on a une particule de masse m₁ qui vient percuter une particule de masse m₂, on écrira en relativité restreinte la conservation du quadrivecteur impulsion :

$\mathbf{P_t}=(\frac{E_t}{c}, \vec p_t)= \mathbf{P_1}+\mathbf{P_2} = (\frac{E_1}{c}, \vec p_1)+ (\frac{E_2}{c}, \vec p_2) {\rm~avec~}\mathbf{P_i^2}=(\frac{E_i}{c})^2 -( \vec p_i)^2 = m_i^2c^2$
On suppose que les deux particules se sont provisoirement unies et forment le tout avec :

$\mathbf{P_t^2}= m_t^2c^2 = \mathbf{(P_1+P_2)^2}=\mathbf{P_1^2}+\mathbf{P_2^2}+2\cdot \mathbf{P_1} \cdot \mathbf{P_2}$
ce qui donne aussitôt dans le référentiel où 2 est immobile :

$m_t^2c^2 = m_1^2 c^2+ m_2^2 c^2+ 2(m_1c^2+ E_{c1})m_2 = (m_1+ m_2)^2c^2 + 2E _{c1}m_2$
où $E c 1 = E 1 - m 1 c 2$ est l'énergie cinétique de la particule 1, puisque c'est son énergie en mouvement - moins son énergie au repos. en résolvant :

$E_{c1} =\frac{1}{2}\cdot \left(\frac { m_t^2 -(m_1+ m_2)^2 }{ m_2}\right ) c^2$ et $E_1 =E_{c1} + m_1c^2 = \left(\frac {m_t^2 - m_1^2 - m_2^2}{ 2 m_2}\right ) c^2$
Remarquer que: $m_2c^2 + E_1 = m_2c^2 + \left(\frac {m_t^2 - m_1^2 - m_2^2}{ 2 m_2}\right ) c^2= \left(\frac {m_t^2 - m_1^2 + m_2^2}{ 2 m_2}\right ) c^2 = \gamma\cdot m_t c^2$ On peut donc en déduire le γ permettant de passer du système du laboratoire (cible 2 immobile) au système dit du centre de masse (l'ensemble est immobile)

$\gamma = \left(\frac {m_t^2 - m_1^2 + m_2^2}{ 2m_t m_2}\right )$ et le : $\beta = \left(\frac {(m_t - m_2)^2 - m_1^2 }{m_t^2 - m_1^2 + m_2^2}\right )$

La pseudonorme du tout donne la masse totale exprimée dans SL en fonction de m₁,m₂ et Ec₁.
On constate que la masse du tout m_t n'est pas la somme des masses m₁ et m₂, alors que ce serait le cas classiquement. La conservation classique de la masse est mise à mal par la relativité restreinte et c'est là l'origine de l'énergie nucléaire : l'énergie du soleil provient de la libération de l'énergie contenue dans la masse qui disparaît dans les réactions de fusion. En sens inverse on peut créer de la masse et donc de nouvelles particules dans les anneaux de collission par la conversion d'énergie en masse.

Le défaut de masse [modifier]

Dans l'exemple précédent, m_t était supérieure à la somme des masses m₁ et m₂. À l'inverse, lors d'une désintégration radioactive, la masse des particules formées est inférieure à la masse initiale. La réaction a produit de l'énergie : elle est exoénergétique. Ce qui donne aussitôt dans le référentiel dit du centre de masse celui où la particule m_t est immobile :

$\mathbf{P_1^2}= m_1^2c^2 = \mathbf{(P_t-P_2)^2}=\mathbf{P_t^2}+\mathbf{P_2^2}- 2\cdot \mathbf{P_t} \cdot \mathbf{P_2}$

$m_1^2c^2 = m_t^2 c^2+ m_2^2 c^2 - 2 m_t c ( E_{c2} +m_2 c)$
où $E c 2 = E 2 - m 2 c 2$ est l'énergie cinétique de la particule 2, puisque c'est son énergie en mouvement - moins son énergie au repos. en ordonnant et en résolvant :

$E_{c2} =\frac{1}{2}\cdot \left(\frac {(m_t- m_2)^2 - m_1^2}{ m_t}\right ) c^2$ et $E_2 =E_{c2} + m_2c^2 = \left(\frac {m_t^2+ m_2^2 - m_1^2}{ 2 m_t}\right ) c^2 = \gamma\cdot m_2 c^2$
On peut donc en déduire le γ permettant de passer du système du laboratoire (cible 2 immobile) au système dit du centre de masse (l'ensemble est immobile)

$\gamma = \left(\frac {m_t^2 - m_1^2 + m_2^2}{ 2m_t m_2}\right )$ et le : $\beta = \left(\frac {(m_t - m_2)^2 - m_1^2 }{m_t^2 - m_1^2 + m_2^2}\right )$
et en permuttant 1 et 2

$\mathbf{P_2^2}= m_2^2c^2 = \mathbf{(P_t-P_1)^2}=\mathbf{P_t^2}+\mathbf{P_1^2}- 2\cdot \mathbf{P_t} \cdot \mathbf{P_1}$

$m_2^2c^2 = m_t^2 c^2+ m_1^2 c^2 - 2 m_t c ( E_{c1} +m_1 c)$
où $E c 1 = E 1 - m 1 c 2$ est l'énergie cinétique de la particule 2, puisque c'est son énergie en mouvement - moins son énergie au repos.

$E_{c1} =\frac{1}{2}\cdot \left(\frac {(m_t- m_1)^2 - m_2^2}{ m_t}\right ) c^2$ et $E_1 =E_{c1} + m_1c^2 = \left(\frac {m_t^2+ m_1^2 - m_2^2}{ 2 m_t}\right ) c^2$
Remarquer que: $E_2 + E_1 = \left(\frac {m_t^2+ m_2^2 - m_1^2}{ 2 m_t}\right ) c^2 +\left(\frac {m_t^2+ m_1^2 - m_2^2}{ 2 m_t}\right ) c^2 = m_t c^2$

Les lois de l'électromagnétisme [modifier]

L'équation de conservation de la charge électrique s'écrit :

$\frac{{\partial}\rho}{{\partial}t}+\nabla\cdot\vec{j}=0$ La force de Lorentz s'écrit : $\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})$

Les équations de Maxwell s'écrivent sous forme vectorielle

$\left\{\begin{matrix} \nabla{\cdot}\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0} & (1)\\ \nabla{\times}\vec{E}=-\frac{{\partial}\vec{B}}{{\partial}{t}} & (2)\\ \nabla{\cdot}\vec{B}=0 & (3)\\ \nabla{\times}\vec{B}=\mu_0\vec{j}+\epsilon_0\mu_0\frac{{\partial}\vec{E}}{{\partial}t} & (4) \end{matrix}\right.$

Écrites dans le formalisme de Lorentz avec des quadrivecteurs, elles se simplifient.

On pose comme quadri-vecteur courant $j^\alpha=({\rho}c,\vec{j})$ . En effet, soit ρ₀ la densité de charge dans le référentiel propre, se déplaçant à la vitesse $\vec V$ par rapport à un référentiel $\mathbb R$ . Du fait de la contraction des longueurs dans la direction de $\vec V$ , le volume occupé par une charge donnée sera multiplié par le facteur ${1 \over \gamma(V)}$ lorsqu'il est observé depuis le référentiel $\mathbb R$ , et donc la densité de charge dans ce même référentiel sera γ(V)ρ₀. Par ailleurs, la densité de courant est $\vec J = \rho \vec V$ , de sorte que :

$j^\alpha=({\rho}c,\vec{j})= \rho (c,\vec{V}) = \rho_0 \gamma(V)(c,\vec V)$ produit de ρ₀ par le quadrivecteur vitesse.

On peut alors appliquer les transformations de Lorentz pour déterminer comment sont transformées densité de charge et densité de courant d'un référentiel $\mathbb R$ à un référentiel $\mathbb R'$ .

Nous avons donc comme formule de transformation des courants et des densités de courant (pour un référentiel en translation uniforme) :

$\left\{ \begin{matrix} c \rho'=\gamma(c \rho -(\frac{v}{c})j_x)\\ cj'_x=\gamma(j_x-(\frac{v}{c})c\rho)\\ j'_y=j_y\\ j'_z=j_z \end{matrix} \right.$

De la même façon, on a comme transformation pour les potentiels :

$\left\{ \begin{matrix} \frac{\varphi'}{c}=\gamma(\frac{\varphi}{c}-(\frac{v}{c})A_x)\\ A'_x=\gamma(A_x-(\frac{v}{c})\frac{\varphi}{c})\\ A'_y=A_y\\ A'_z=A_z \end{matrix} \right.$

On définit le quadri-potentiel électromagnétique :

$A^\alpha=(\frac{\varphi}{c},\vec{A})$

Nous définissons le champs électromagnétique de la façon suivante :

$\left\{\begin{matrix} \vec{E}=-{\nabla}\varphi-\frac{\partial\vec{A}}{{\partial}t}\\ \vec{B}=\nabla\times\vec{A} \end{matrix}\right.$

Les transformations des composantes du champ électromagnétique s'écrivent :

$\left\{\begin{matrix} E'_x=E_x\\ E'_y=\gamma(E_y-vB_z)\\ E'_z=\gamma(E_z+vB_y)\\ B'_x=B_x\\ B'_y=\gamma(B_y+\frac{v}{c^2}E_z)\\ B'_z=\gamma(B_z-\frac{v}{c^2}E_y) \end{matrix}\right.$

On peut alors définir :

$F^{\alpha\beta}=\partial^{\alpha}A^\beta-\partial^{\beta}A^\alpha$

Le Tenseur électromagnétique F est anti-symétrique, nous pouvons calculer ses composantes :

$\left\{\begin{matrix} F^{01}={\partial}^{0}A^1-{\partial}^{1}A^0=\frac{1}{c}\frac{{\partial}A_x}{{\partial}t}+\frac{{\partial}\frac{\varphi}{c}}{{\partial}x}=-\frac{E_x}{c}\\ F^{02}={\partial}^{0}A^2-{\partial}^{2}A^0=\frac{1}{c}\frac{{\partial}A_y}{{\partial}t}+\frac{{\partial}\frac{\varphi}{c}}{{\partial}y}=-\frac{E_y}{c}\\ F^{03}={\partial}^{0}A^3-{\partial}^{3}A^0=\frac{1}{c}\frac{{\partial}A_z}{{\partial}t}+\frac{{\partial}\frac{\varphi}{c}}{{\partial}z}=-\frac{E_z}{c}\\ F^{12}={\partial}^{1}A^2-{\partial}^{2}A^1=-\frac{{\partial}A_y}{{\partial}x}+\frac{{\partial}A_x}{{\partial}y}=-B_z\\ F^{13}={\partial}^{1}A^3-{\partial}^{3}A^1=-\frac{{\partial}A_z}{{\partial}x}+\frac{{\partial}A_x}{{\partial}z}=B_y\\ F^{23}={\partial}^{2}A^3-{\partial}^{3}A^2=-\frac{{\partial}A_z}{{\partial}y}+\frac{{\partial}A_y}{{\partial}z}=-B_x\\ \end{matrix}\right.$

Le tenseur électromagnétique s'écrit sous forme matricielle :

$F^{\alpha\beta}=\left[\begin{matrix} 0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c}\\ \frac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y\\ \frac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x\\ \frac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix}\right]$

Les équations contenant les sources (1) et (4) s'écrivent dans la formulation covariante :

$\partial_{\alpha}F^{\alpha\beta}=\mu_{0}j^\beta$

En effet, on a :

$\left\{\begin{matrix} \partial_{1}F^{10}+\partial_{2}F^{20}+\partial_{3}F^{30}=\mu_{0}j^0\\ \partial_{0}F^{01}+\partial_{2}F^{21}+\partial_{3}F^{31}=\mu_{0}j^1\\ \partial_{0}F^{02}+\partial_{1}F^{12}+\partial_{3}F^{32}=\mu_{0}j^2\\ \partial_{0}F^{03}+\partial_{1}F^{13}+\partial_{2}F^{23}=\mu_{0}j^3 \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} \frac{{\partial}\frac{E_x}{c}}{{\partial}x}+\frac{{\partial}\frac{E_y}{c}}{{\partial}y}+\frac{{\partial}\frac{E_z}{c}}{{\partial}z}=\mu_{0}{\rho}c=\frac{1}{c}\nabla\cdot\vec{E}\\ -\frac{1}{c}\frac{{\partial}\frac{E_x}{c}}{{\partial}t}+\frac{{\partial}B_z}{{\partial}y}-\frac{{\partial}B_y}{{\partial}z}=\mu_{0}j_x=(-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial}\vec{E}}{{\partial}t}+\nabla\times\vec{B})_x\\ -\frac{1}{c}\frac{{\partial}\frac{E_y}{c}}{{\partial}t}-\frac{{\partial}B_z}{{\partial}x}+\frac{{\partial}B_x}{{\partial}z}=\mu_{0}j_y=(-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial}\vec{E}}{{\partial}t}+\nabla\times\vec{B})_y\\ -\frac{1}{c}\frac{{\partial}\frac{E_z}{c}}{{\partial}t}+\frac{{\partial}B_y}{{\partial}x}-\frac{{\partial}B_x}{{\partial}y}=\mu_{0}j_z=(-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial}\vec{E}}{{\partial}t}+\nabla\times\vec{B})_z \end{matrix}\right.$

Les équations (2) et (3) s'écrivent :

$\partial_{\alpha}F_{\beta\gamma}+\partial_{\beta}F_{\gamma\alpha}+\partial_{\gamma}F_{\alpha\beta}=0$

La vérification est aisée.

L'équation s'écrit aussi avec le tenseur de Lévi-Civita : $\varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}\partial_\beta F_{\gamma\delta}=0$

Autres ébauches [modifier]

les intervalles d'espace

etc.

Voir aussi [modifier]

Portail de la physique

Récupérée de « http://fr.wikipedia.org/wiki/Calculs_relativistes »

Catégories : Article manquant de référence • Relativité

16/09/2007

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